【明慧網2002年11月14日】秉燭夜遊夢中人
從1902年到現在2002年整100年間，數學處於漫長的危機黑夜裏。但是幾乎所有的科學家都不怎麼擔心這一點，因為在以往，哪一次的危機被解決之後，都是幾乎完全包容了以前的知識，而不需要他們重新學習全新的一切。或許是巧合吧，下個月正好也適逢諾貝爾獎設立100週年，聽說屆時健在的200餘位歷屆各類獲獎者將在斯德哥爾摩雲集一堂，或許他們依然對科學充滿了最初的憧憬。
而這次的危機註定反常，因為這100年是公認的有史以來科學發展最為迅猛的一個世紀，特別是後50年以來，科學已經進入了人類的每一個角落，速度快得以至於有人用爆炸這個詞來形容。可是這一次的數學危機卻絲毫沒有要被解決的跡象，而科學的發展竟貿然進入危機所標明的危險領域，投入形式化系統的懷抱，這可是個相當令人吃驚的結局。
不全是大家失去了理智，電腦及相關技術所帶來的現實利益實在是太誘人了，無人能抵。誰能指望一個癮君子去認真考究毒品的危害呢？
我們準備全景概覽數學，但不準備使用數學的描述和證明、也不準備過於深入細緻，那將阻礙很多人。我的一個信念是：一門真正的科學，應該是大多數人都能夠不同程度理解的，而不論教育背景如何。不過首先說明一點，其實科學的發展在相當長一段歷史時期是很難區分甚麼數學、物理、哲學等，哪怕到了今天把學科細分到雞毛蒜皮的程度，各個學科仍然要互相交織在一起，所以也沒必要單純地討論哪一個。
以數學為主來認識是因為一方面數學處於核心地位，一方面數學的概念、運算和證明等等無論形式和內容，都包含著科學最根本的觀念，這裏面有的東西人能看到，而有的卻是人根本就沒有想過那意味著甚麼。
2000年前的人類社會，和現在的人類社會相去甚遠，思想觀念上的差異也同樣有著天淵之別。而即使是400年前的人類社會，也同樣和現代的人類社會差異很大。一直到牛頓和萊布尼茨，他們的科學研究都是要為了證實上帝的存在，而且確實起到了這樣的作用。這是一段插話。
模型的概念在現代數學中佔有著至關重要的地位。研究人員總是把自己的觀察和想法組成概念的體系，這就是模型。數學是模型的數學，模型不是事實，也不代表事實，代表人自己的想法、觀念等等。模型的觀念被貫穿到科學研究的任何一個領域，從宇宙模型、天體力學模型到分子原子量子力學模型，甚至經濟學模型、語言模型。不過有一點，在許許多多的領域內，就像量子力學、經濟學那樣，有效的模型十分罕見，也不能通過觀察而從某種自動的步驟推演出來。
一般而言，建立模型是為了追求數學、邏輯的表達，最終是要量化。用邏輯的方式描述模型，就形成了五花八門的理論，要把理論反作用到現實當中去，就離不開數學。如果模型玩不轉，那麼數學也只能是乾瞪眼。而我們受過教育的人所熟知的甚麼整數、實數、虛數等，加減乘除等，原來都是一種模型、也是一種集合，也就是觀念。這些是數學的基本元素。建立模型，需要抽象的能力，這種能力也就是用自己的觀念從所觀察的事物中找到符合自己觀念的東西的能力。
大夢只隔一張紙
數學歸結為數和運算的學說，數和運算對應於量和邏輯。
最簡單的數學模型就是自然數的集合：1、2、3 ……。可是自然數有多少個呢？似乎這個問題太簡單了，無窮多嘛！無窮就是永無止境，我們卻永遠都不能找到全部的自然數。對於這個問題，自古以來就分成了兩個觀點：實無窮（此外全無）和潛無窮（此外永有）。不過大家一個共同的前提是，已知的自然數用已知的方式順序遞增（加法）得到的還是自然數。而自然數的意思就是自然存在的數，這種無窮是根據直觀觀念想像的。
數的概念對不對？數的概念能否反映事物的屬性？加法是實際的自然現象對應？N與N＋1是否描述的不僅是量的變化？在我們耳聞目睹的範圍之內，確實很多都是這樣的，這就形成了現代科學最基本的固有觀念，從而形成了現代科學的基礎；可是即使在我們所了解的身邊，也確實有更多的事物和現象並非如此啊。可以對以上每一個疑問都作出明確的否定的回答和與過去截然不同的答案。
實質的錯誤在於：個體、範圍和空間；是由於人對範圍和時空的直覺認識是極其狹隘的。實際人所接觸到的最大距離是1027米，最小是10-36米（超弦理論）。而絕大部份學科的研究對象都超不出地球的範圍。數字可以按照想像隨意地累加，而自然世界不是這樣的：首先每當增加到一定範圍，那就是進入另外一層時空了，成為另外的單獨個體了；我們認為的個體是無數無數的不同時空和範圍內無數個體的“疊加”（這個詞僅僅能描述這種現象，實際並非我們認為的那種疊加方式）。還有加法所表現的內涵，亦非自然所有。
這裏就順帶出了關於集合概念的問題和概念本身的問題，以及那些被明確的許多推理規則的問題。根本上是推理和概念不相容的問題。僅僅是擴大了時空的認識之後，我們就可以用數學的方式證明現在的這些基本概念是錯誤的。以後如果有機會我們會用純粹的數學方式進行證明。
自然數的下一個階段就是整數的集合，這是因為涉及到減法所帶來的，這是歸納演繹觀念的必然擴展。正負涉及陰陽，而加減涉及益損、得失和變化；並不是一回事。
後來又出現了有理數、無理數概念，每一次的前進都是舊有思維觀念的一次成功再包裝。連續、無限、可分的基礎理念從不動搖且一直到現在，一方面製造著錯誤的產品，一方面封閉著自己的認識。一直到實數概念的出現，就把這個棺材板兒給釘上了最後一顆釘子。所有的現代科學的運算、邏輯、複雜化的表達形式，都是線性思維的產物，所謂的辯證法是線形思維的直接生成物。線性思維，是直觀觀察的必然結果之一。因為人的一切觀察、體驗和驗證，都必須轉化成為人的感官體驗。表面人的感官不能超越分子組成的事物，甚至僅僅被限定在低速傳導神經所劃定的狹小範圍。
有誰會想到呢，實數的概念其實已經從宏觀和微觀兩個方向上都否認了另外時空的存在。尺度小到一定程度也進入了另外空間，可是實數的概念把這都納入了這個空間的認識體系。現在搞系統科學，他們以為參數多了條件多了就能搞出甚麼新的名堂呢。大和複雜到一定程度，不從多個空間進行研究是毫無出路的，那已經不是這個時空之內的東西了。
一切都是生命，我們還沒有從生命的角度來談論；人的這一切觀念都是被操縱著的，我們尚未提及這一點；完整的新理論我們也沒有提出來，這裏只是從新的角度議論了一下。但是問題的實質我們已經都指出來了。到時候，世人一定重新看待中國古老的五行學說，更會驚嘆法的博大精深。
“一夢萬年終靠岸。”（李洪志：《洪吟﹒苦度》）人類永恆的悲哀，結束了。
